挺好的。不过有几个小地方可以改进：
1. f和f1可以写成1个函数，把阶数也作为自变量
2. 二分法求根应改成牛顿法求根，提高计算速度
3. 高斯节点是对称的，只求正的即可，n为奇数时0也是节点
此外，计算x**2/3在0至1之间积分的例子，由于被积函数是二次多项式，如果采用n>=2的高斯勒让德积分，结果应该是准确值，其数值计算结果只应在最后一位有误差。本文显示的结果却有两位误差，可以说明f、f1或求根的计算有一定误差。

改进后的程序

      
      Module AF_Gauss_Legendre
      
      Implicit None
      Integer, Parameter :: n_GL=5
      Integer, Parameter :: iKind=8 ! 16
      Real(kind=iKind) , parameter :: acc_GL_Abscissae=1e-15_iKind ! 1e-31_iKind
      
      Contains
      
      Real (Kind=iKind) Function P_Legendre(n,x) ! n阶勒让德多项式
      Implicit None
      Integer :: i,n
      Real (Kind=iKind) :: a(n), x
      a(1)=x ! 1阶勒让德多项式
      a(2)=1.5e0_iKind*x*x-0.5e0_iKind ! 2阶勒让德多项式
      Do i=3,n
      a(i)=((i+i-1)*x*a(i-1)-(i-1)*a(i-2))/i ! 利用递推关系产生n阶勒让德多项式
      End Do
      P_Legendre=a(n) !生成的n阶勒让德多项式
      End Function P_Legendre
      
      Real (Kind=iKind) Function DP_Legendre(n,x)
      Implicit None
      Integer :: i,n
      Real (Kind=iKind) :: a(n), x
      a(1)=x ! 1阶勒让德多项式
      a(2)=1.5e0_iKind*x*x-0.5e0_iKind ! 2阶勒让德多项式
      Do i=3,n
      a(i)=((i+i-1)*x*a(i-1)-(i-1)*a(i-2))/i ! 利用递推关系产生n阶勒让德多项式
      End Do
      DP_Legendre=(a(n-1)-x*a(n))*n/(1e0_iKind-x*x) ! 生成n阶勒让德多项式的导数表达式
      End Function DP_Legendre
      
      Real (Kind=iKind) Function root(a, b) ! 牛顿法求解函数在(a,b)内的解
      Implicit None
      Real (Kind=iKind) :: a, b, c, x, dx
      Integer :: i
      x=(a+b)*0.5e0_iKind
      Do
      dx=-P_Legendre(n_GL,x)/DP_Legendre(n_GL,x)
      x=x+dx
      If (ABS(dx)

你用的啥编辑器？